Ребята, подскажите, пожалуйста, как научиться обслуживать
компьютеры самостоятельно, если нет на фирме системного
администратора и начальник брать его в штат не планирует.

Так и ставьте вопрос ребром перед начальником! Почему Вы
должны беспокоиться о работоспособности компьютеров, если
это напрямую его забота. Если не хотите работать на
полуживых компьютерах, то увольняйтесь.

Существую такие компании, которые предоставляют услуги по
абонентскому обслуживанию компьютеров. Посмотрите, например,
вот одна из таких http://www.evek.ru/abonentskoe-obsluzhivanie-kompyu
terov.html. Системный администратор согласно договора
будет посещать Вашу фирму по графику или в случае
необходимости. Уверен, что это хорошее решение для компании,
в которой вообще нет системотехника.

Это не сложно, поверьте мне. Изучите основы по обслуживанию
компьютерной техники, запаситесь необходимыми драйверами и
программами. Это лучше, чем уволиться, ведь сейачс очень
сложно найти хорошую работу. В любом деле главное это
упорство.