Собираюсь покупать машину с пробегом, новую могу позволить
только в кредит, но не хочу с этим связываться. Так вот, как
можно проверить, что с документами все в порядке? И как
перерегистрацию правильно делать? 

так обратитесь к юристу он вам поможет с документами, в чем
проблема

Я тоже думаю, что лучше к специалисту обратиться.

Ну и правильно, в кредиты сейчас лучше не влезать, время
неподходящее. А проверить машину очень просто через
онлайн-сервис http://avtobot.net/ Там по
вин-коду или гос номеру можно узнать всю историю владения,
все регистрационные данные, были ли ДТП и прочее прочее.
Меня не раз этот сайт выручал. Оберегал от плохих покупок)

так лучше поднакопите и купите новую машину, со старой потом
проблем не оберетесь, придется постоянно ее ремонтировать

  Перерегистрацию надо делать сразу в автоинспекции. С
бывшим хозяином машины и со всеми документами на  машину и
паспортами.

Да, Елена права. Лучше всего на перерегистрацию прошлого
владельца брать с собой. А если отказывается, то уже есть
вероятность, что что-то не так с машиной. Еще можно себя
обезопасить, если проверить авто по гос номеру https://avtocod
.ru/proverka-po-nomeru Часто бывает, что прошлый
владелец показывает копию ПТС или новый взамен утерянного. В
нем будет неполная информация о прошлых владельцах. А через
этот сайт все можно посмотреть.

Как думаете, перед продажей авто, если сделать
профессиональную полировку автомобиля, вот как здесь
предлагается http://www.avt
ospa.com/our-technology/, насколько дороже можно будет
продать тогда?

Новая машина всегда лучше.